计算机科学论坛--关于离散教材，二元关系中的定理和Ｌｏｇｉｃｉａｎ答案的几个问题？

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1.　在证定理2.24的推论时．教材上有：　再由定理2.18可知　R, R^2 ,R^3,........∈{R^0, R^1,..........R^t-1},取 l=t-1，由定理2.24可知，
　　　　　　　　　　　　　　　　　t(R)=ＲuＲ^2u.......uＲ^L
　　如果t(R)=Ｒ＾１，　Ｒ＾２．．．．．中存在Ｒ＾ｎ＝Ｒ＾０时，此证明过程还对吗？
　　证明中说：再由定理2.18可知　R, R^2 ,R^3,........∈{R^0, R^1,..........R^t-1}，（如果把Ｒ＾０去掉，就得不到Ｒ，　Ｒ＾２　Ｒ＾３．．．．．∈｛Ｒ，Ｒ^2,..........Ｒ^t-1}）．

2.　在定理2.30中的　（1）　有X<y,x=y,x>y, ３式中必有一式成立；
既然＜为拟序关系，那么x=y可能成立吗？

对Ｌｏｇｉｃｉａｎ答案的疑问：
1.　习题2.17的图是不是画错了，应该是对称的啊，所有的边应该是双向的吧．

2.习题2.42，不是要求写商集的，集合表达示吗？　写成
Ａ／Ｒ１＝｛｛｝，｛｝．．．．｛｝｝的形式可以吗？

3.　习题2.48的第（2）小题的证明中，将第三步改为：
　＝＝＞（为了方便用此符号表示蕴含于吧）
　　＝＝＞　　＜Ｘ,Ｘ＞∈Ｒ∧Ｘ∈Ｂ　　　　　　　　　（Ｒ是自反的）
　　＜＝＝＞　＜Ｘ,Ｘ＞∈Ｒ∧Ｘ∈Ｂ∧Ｘ∈Ｂ　　　　　（命题逻辑幂等律）
　　＜＝＝＞　＜Ｘ,Ｘ＞∈Ｒ∧＜Ｘ,Ｘ＞∈ＢｘＢ　　　　（卡式积定义）

　　第（4）小题中：由（3）知，Ｒ|Ｂ是全序关系是怎么得到的？应该是拟全序关系吧．
应该好些吧．顺便问一下Ｌｏｇｉｃｉａｎ，在证明时，把　＝＝＞写成　＜＝＝＞
肯定错了，但如果把　＜＝＝＞写成　＝＝＞可以吗？

4.习题2.49的证明中第三步应该为：
　　　　＝＝＞ ┑＜y,y>∈Ｒ２∧ （┑＜Ｘ,Ｘ＞∈Ｒ１∨y≠y) 　(命题逻辑附加律）
　　或　＜＝＝＞┑＜y,y>∈Ｒ２∧ （┑＜Ｘ,Ｘ＞∈Ｒ１∨┑y＝y) (命题逻辑同一律）
吧，否则下面一步的德．摩根律不对．
最后问一下，该证明法的最后分四种情况讨论，必需四种情况都能推出＜y1,y3>∈Ｒ２才行吗？

习题2.50　在证Ｒ是反对称时的最后一步有用吗？证到　＜x1,y1>=<x2,y2>就完了吧．

还有最后一题　2.53．证法思想是很简单，但用数学语言准确的写出来还有点难，如果版主有时间的话，帮忙写下．
　谢谢Ｌｏｇｉｃｉａｎ为丛多网友的服务，同时请教各位高手指教．

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补充一下：在习题2.48中的第（2）小题中，在证R|B是反对称时，最倒数第二步的　
　＜＝＝＞　　　（命题逻辑化简律）　　应该改为　＝＝＞吧．

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1、为什么不成立？书上的证明过程与是否“存在n>0，使得R^n=R^0”无关啊。

2、当然可能啦。选择x和y时，没有保证不选相同的啊。比如实数上的“小于”关系是拟序，当x=3，y=3时，不就有x=y了吗？：）

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对Ｌｏｇｉｃｉａｎ答案的疑问：
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1、嗯。我是用无向边代表两个方向的有向边了。这样不严格，我改过来。：）

2、对。应该写成集合表达式。

3、嗯。对。那样更严格。

“由（3）知，Ｒ|Ｂ是全序关系是怎么得到的？应该是拟全序关系吧．”
嗯。的确。这道题的证明需要改一下。

“把＜＝＝＞写成＝＝＞可以吗？”。可以。

4、嗯。对。

“该证明法的最后分四种情况讨论，必需四种情况都能推出＜y1,y3>∈Ｒ２才行吗？”
是的。因为有定理“A→P ∧ B→P ==> (A∨B)→P”。直观理解也很显然：已知有4种可能的情况（除非你已经证明了其中的一种或几种情况不可能出现），现在要证P（在前提成立的情况下）恒为真，自然要说明在每一种情况下，P都为真。

“习题2.50　在证Ｒ是反对称时的最后一步有用吗？”
嗯。没用。我晕了。：）

"补充一下：在习题2.48中的第（2）小题中，在证R|B是反对称时，最倒数第二步的　
　＜＝＝＞　　　（命题逻辑化简律）　　应该改为　＝＝＞吧．”
对。谢谢！：）

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如果t(R)=Ｒ＾１，　Ｒ＾２．．．．．中存在Ｒ＾ｎ＝Ｒ＾０时，此证明过程还对吗？
　　证明中说：再由定理2.18可知　R, R^2 ,R^3,........∈{R^0, R^1,..........R^t-1}，（如果把Ｒ＾０去掉，就得不到Ｒ，　Ｒ＾２　Ｒ＾３．．．．．∈｛Ｒ，Ｒ^2,..........Ｒ^t-1}）．
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还是不太理解．　由定理2.24得　t（Ｒ）＝Ｒ∪Ｒ＾２∪Ｒ＾３∪．．．．．
由定理2.18可知：　R, R^2 ,R^3,........∈{R^0, R^1,..........R^t-1}，也就是说上一行中的ｔ（Ｒ）的无限多个Ｒ＾ｎ（n=1,2,3........）的值都属于集合{R^0, R^1,..........R^t-1}．所以取l=t-1，可得到t（Ｒ）＝Ｒ∪Ｒ＾２∪Ｒ＾３∪．．．．．＝Ｒ＾０∪Ｒ∪Ｒ＾２∪Ｒ＾∪．．．．Ｒ＾l　　　（因为左边的无限多个项都属于｛R^0, R^1,..........R^t-1｝），但是在定理2.24的推论中没有Ｒ＾０，这样如果定理2.24中的如果存在Ｒ＾ｎ＝Ｒ＾０的话，那么R, R^2 ,R^3,........∈{ R^1,..........R^t-1}就不成立了啊．（集合中缺少Ｒ＾０）．这样这个推论就不对了啊．
　　可能是我思维陷入了一个死角吧，望指点．

2、当然可能啦。选择x和y时，没有保证不选相同的啊。比如实数上的“小于”关系是拟序，当x=3，y=3时，不就有x=y了吗？：）
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书上的定义2.19　说常将偏序关系Ｒ记成≤，并且将<x,y>∈Ｒ　记成x≤y．所以在理解定理2.30的（1）时，将　x<y ,y>x理解成<x,y>∈Ｒ,和<y,x>∈Ｒ,那么x=y可以看作是
<x,x>∈Ｒ或<y,y>>Ｒ吗？　但拟序关系不是反自反的吗？
Logician的意思是不是，x,y虽然值相同，但为不同的符号．是吗？

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1、如果R^n=R^0，那么肯定有t=n+1，从而R^(t-1)=R^0。
2、“Logician的意思是不是，x,y虽然值相同，但为不同的符号．是吗？”对。


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