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     * 贴子主题： [原创]离散：关于"环与域"教材上一道例题的疑问，请各位高手帮忙解答一下，谢谢了！ 举报  打印  推荐  IE收藏夹 
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     cpkug 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 [原创]离散：关于"环与域"教材上一道例题的疑问，请各位高手帮忙解答一下，谢谢了！

    离散大本, P288 [例子18.5]
    下述集合关于所指出的运算是否构成环？是否构成整环？是否构成除环？是否构成域？
                 _
    （2）{a + b√2 | a, b ∈ Q } 关于数的加法和乘法；
    （4）{a + bi| a, b ∈ Z, i^2 = -1 } 关于数的加法和乘法；
    （6）              a b
                集合{(     ) | a，b∈Z } 关于数的加法和乘法；
                       b a
    答案：
    （2）是整环，除环和域；
    （4）是整环，但不是除环和域；
    （6）是环，但不是整环、除环和域；


    本人对这三道题的解答都有疑问：
    （2）当a^2 - 2b^2=0时，相应对象的逆元就不存在了，R*不构成群，因而不能是除环和域；

    （4） 对于任意a + bi，其逆是1/(a + bi)= (a - bi) / (a^2 + b^2)，因而R*构成群，因而是除环，同时具有交换性，因而也是域；

    （6） 对于所给的这个矩阵形式，它是交换的，并且每个元素都有逆元，因而认为它是整环、除环和域；
    交换性验证如下：
       a b        c d        ac+bd  ad+bc
    (      ) * (     ) = (               ) ，
       b a       d c         ad+bc  ac+bd   

       c d        a b        ac+bd  ad+bc
    (      ) * (     ) = (               ) ，
       d c       b a         ad+bc  ac+bd   
       可见满足交换律；

       请各位高手帮忙解答一下，谢谢了！


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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/1 11:01:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    (2) 若a^2 - 2b^2=0（且a,b不全为0），即有a=±b√2。这与前提“a,b同为有理数”矛盾。所以你说的情况在R*中不可能出现。而当a^2 - 2b^2≠0时，逆元可以轻易解得。

    (4) a / (a^2 + b^2) 和 b / (a^2 + b^2) 还是整数吗？（注意看原系统中元素a+bi要求a,b都是整数）。

    (6) 一样的，注意a,b∈Z。

    ----------------------------------------------
    Three passions, simple but overwhelmingly strong, 
    have governed my life: the longing for love, the
    search for knowledge, and unbearable pity for the
    suffering of mankind.
                                - Bertrand Russell

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     cpkug 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    谢谢解惑，真的，非常感谢！

    另外，还有个疑问：
    （6） 对于所给的这个矩阵形式，对于算法，它是交换的，有单位元，但它不是整环，是不是因为它不是无零因子环？觉得应该是这样，只希望能确认一下，增强一下信心！

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/1 15:37:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    对.

    以下是引用cpkug在2007-12-1 15:37:00的发言：
    谢谢解惑，真的，非常感谢！

    另外，还有个疑问：
    （6） 对于所给的这个矩阵形式，对于算法，它是交换的，有单位元，但它不是整环，是不是因为它不是无零因子环？觉得应该是这样，只希望能确认一下，增强一下信心！




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