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       本主题类别:     
     EagleSoaring 帅哥哟，离线，有人找我吗？金牛座1982-5-8
      
      
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    发贴心情 群两题


    1. 元素都是有限阶的群不一定是有限群，请给出例子。

    2. 下面的题目我没有思路，提示我一下：）

       3元集上的不同的二元运算有多少个？
       3元集上二元运算表有多少个，使得每行每列能构成置换？
       3元集上有多少个不同的运算表代表群？
       3元集上同构的群有多少个？

    谢谢


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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/7 15:12:00
     
     albani 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    3元集上的不同的二元运算有多少个？

    这个就是运算表中9个格可以任意填3个数中一个，所以等于3^9
    这应该都算组合数学的知识了吧

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/7 21:04:00
     
     albani 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    1. 元素都是有限阶的群不一定是有限群，请给出例子。

    给个无限集合A，定义二元运算让除了e的每个元素的阶等于2，即任意a*a=e

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/7 21:07:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    1. 考虑<P(N), ◎>，其中P(N)为自然数集的幂集，◎为对称差运算。
    2.
    (1) A上的二元运算是所有从A×A到A的函数，共有|A|的|A|*|A|次方个，即3^9个。
    (2) 第一行有3!=6种排法，确定一种之后，第二行只有2种排法（这个自己论证一下），确定之后，第三行的排法就唯一确定了。所以共有12种排法。
    (3) 3阶群只有循环群一种，不妨记元素表为{a,b,c}，那么根据a*a等于b还是等于c可以唯一确定两个不同的群，这便是所有的可能了（可以自己论证一下）。
    (4) 见上题。证明过程我记得教材上有。

    以下是引用EagleSoaring在2007-12-7 15:12:00的发言：
    1. 元素都是有限阶的群不一定是有限群，请给出例子。

    2. 下面的题目我没有思路，提示我一下：）

        3元集上的不同的二元运算有多少个？
        3元集上二元运算表有多少个，使得每行每列能构成置换？
        3元集上有多少个不同的运算表代表群？
        3元集上同构的群有多少个？

    谢谢


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    suffering of mankind.
                                - Bertrand Russell

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/7 22:14:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    你没有给出这个A上任意两个元素间的运算法则，所以未能论证这样的“群”的存在性。

    你的答案相当于定义了一个“代数系统”V=<A,*>，规定对A-{e}中的任意元素a，有a*a=e，但你没有规定对V-{e}中任意两个元素a,b，a*b怎么算，所以你还没有证明你定义出来的这个代数系统V是一个“群”，也无法让人相信确实能定义出这样的一个群。

    为了说明这一点，不妨我把题目改一下，改成：“是否存在所有元素都是有限阶的无限非交换群？”
    那么按你的证明思路，似乎你完全可以刚才的答案照贴一遍。但实际上，按你的方法根本构造不出一个符合题目要求的群。因为我们知道，如果一个群中所有元素至多是2阶的，那么这个群必然是交换群。

    所以我要强调的是：“群”是一类具有特殊性质的代数系统，你要证明满足某种性质P的群的存在性，不能只证明“存在满足性质P的代数系统”就算完了。你必须证明，“存在既满足性质P又满足群公理的代数系统”。


    以下是引用albani在2007-12-7 21:07:00的发言：
    1. 元素都是有限阶的群不一定是有限群，请给出例子。

    给个无限集合A，定义二元运算让除了e的每个元素的阶等于2，即任意a*a=e


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    发贴心情 
    确实不是个群。
    但是在证明无限群有无限个子群的时候分了有无限阶元素和没有无限阶元素两种情况，
    元素都是有限阶的无限群还是可能存在的吧
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/9 23:27:00
     
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    发贴心情 
    我给出了阿。
    我只是说你这个证明不对（不完整），没说结论不成立。

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