计算机图形学中，所有的光滑曲线、曲面都采用线段或三角形逼近来模拟，但为了精确地表现曲线，通常需要成千上万个线段或三角形来逼近，这种方法对于计算机的硬件资源有相当高的要求。然而，许多有用的曲线、曲面在数学上只需要用少数几个参数（如控制点等）来描述。这种方法所需要的存储空间比线段、三角形逼近的方法来所需要的空间要小得多，并且控制点方法描述的曲线、曲面比线段、三角形逼近的曲线、曲面更精确。

　　为了说明如何在OpenGL中绘制复杂曲线和曲面，我们对上述两类比方法都进行了介绍。下面我们先来介绍有关基础知识，然后再看是如何实现的吧。

　　一、曲线的绘制

　　OpenGL通过一种求值器的机制来产生曲线和曲面，该机制非常灵活，可以生成任意角度的多项式曲线，并可以将其他类型的多边形曲线和曲面转换成贝塞尔曲线和曲面。这些求值器能在任何度的曲线及曲面上计算指定数目的点。随后，OpenGL利用曲线和曲面上的点生成标准OpenGL图元，例如与曲线或曲面近似的线段和多边形。由于可让OpenGL计算在曲线上所需的任意数量的点，因此可以达到应用所需的精度。
对于曲线，OpenGL中使用glMap1*（）函数来创建一维求值器，该函数原型为：

void glMap1{fd}(GLenum target,TYPE u1,TYPE u2,GLint stride, GLint order,const TYPE *points);

　　函数的第一个参数target指出控制顶点的意义以及在参数points中需要提供多少值，具体值见表一所示。参数points指针可以指向控制点集、RGBA颜色值或纹理坐标串等。例如若target是GL_MAP1_COLOR_4，则就能在RGBA四维空间中生成一条带有颜色信息的曲线，这在数据场可视化中应用极广。参数u1和u2，指明变量U的范围，U一般从0变化到1。参数stride是跨度，表示在每块存储区内浮点数或双精度数的个数，即两个控制点间的偏移量，比如上例中的控制点集ctrpoint[4][3]的跨度就为3，即单个控制点的坐标元素个数。函数参数order是次数加 1，叫阶数，与控制点数一致。

参数 意义
GL_MAP1_VERTEX_3  x,y,z顶点坐标
GL_MAP1_VERTEX_4 x,y,z,w 顶点坐标
GL_MAP1_INDEX 颜色表
GL_MAP1_COLOR_4 R,G,B,A
GL_MAP1_NORMAL  法向量
GL_MAP1_TEXTURE_COORD_1 s　纹理坐标
GL_MAP1_TEXTURE_COORD_2 s,t　纹理坐标
GL_MAP1_TEXTURE_COORD_3 s,t,r　纹理坐标
GL_MAP1_TEXTURE_COORD_4 s,t,r,q　纹理坐标
　　　　　　　　　　　　　　表一、参数target的取值表

　　使用求值器定义曲线后，必须要启动求值器，才能进行下一步的绘制工作。启动函数仍是glEnable()，其中参数与glMap1*()的第一个参数一致。同样，关闭函数为glDisable()，参数也一样。

　　一旦启动一个或多个求值器，我们就可以构造近似曲线了。最简单的方法是通过调用计算坐标函数glEvalcoord1*()替换所有对函数glVertex*()的调用。与glVertex*()使用二维、三维和四维坐标不同，glEvalcoord1*()将u值传给所有已启动的求值器，然后由这些已启动的求值器生成坐标、法向量、颜色或纹理坐标。OpenGL曲线坐标计算的函数形式如下：

void glEvalCoord1{fd}[v](TYPE u);

　　该函数产生曲线坐标值并绘制。参数u是定义域内的值，这个函数调用一次只产生一个坐标。在使用glEvalCoord1*()计算坐标，因为u可取定义域内的任意值，所以由此计算出的坐标值也是任意的。

　　使用glEvalCoord1*()函数的优点是，可以对U使用任意值，然而，如果想对u使用N个不同的值，就必须对glEvalCoord1*()函数执行N次调用，为此，OpenGL提供了等间隔值取值法，即先调用glMapGrid1*()定义一个间隔相等的一维网格，然后再用glEvalMesh1()通过一次函数执行，将求值器应用在网格上，计算相应的坐标值。下面详细解释这两个函数：

　　1、void glMapGrid1{fd}(GLint n,TYPE u1,TYPE u2);

　　定义一个网格，从u1到u2分为n步，它们是等间隔的。实际上，这个函数定义的是参数空间网格。

　　2、void glEvalMesh1(GLenum mode,GLint p1,GLint p2);

　　计算并绘制坐标点。参数mode可以是GL_POINT或GL_LINE，即沿曲线绘制点或沿曲线绘制相连的线段。这个函数的调用效果同在p1和p2之间的每一步给出一个glEvalCoord1()的效果一样。从编程角度来说，除了当i=0或i=n，它准确以u1或u2作为参数调用glEvalCoord1()之外，它等价于一下代码：

glBegin(GL_POINT);　/* glBegin(GL_LINE_STRIP); */
　　for(i=p1;i<=p2;i++)
　　　　glEvalCoord1(u1+i*(u2-u1)/n);
　　glEnd();

　　为了进一步说明OpenGL中曲线的绘制方法。下面我们来看一个简单的例子，这是用四个控制顶点来画一条三次Bezier曲线。程序如下（注：这是本讲座中提供的第一个完整的OpenGL实例代码，如果读者朋友对整个程序结构有些迷惑的话，也不要紧，慢慢地往下看，先有一个感官上的印象，主要是掌握如何实现曲线绘制这一部分。关于OpenGL的程序整体结构实现，笔者将在第五讲中专门阐述）：

#include "glos.h"
#include <GL/gl.h>
#include <GL/glu.h>
#include <GL/glaux.h>
void myinit(void);
void CALLBACK myReshape(GLsizei w, GLsizei h);
void CALLBACK display(void);
GLfloat ctrlpoints[4][3] = {
　　{ -4.0, -4.0, 0.0 }, { -2.0, 4.0, 0.0 },
　　{ 2.0,　-4.0, 0.0 }, { 4.0,　4.0, 0.0 }
};
void myinit(void)
{
　　glClearColor(0.0, 0.0, 0.0, 1.0);
glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3, 0.0, 1.0, 3, 4,
&ctrlpoints[0][0]);
　　glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3);
　　glShadeModel(GL_FLAT);
}
void CALLBACK display(void)
{
　　int i;
　　glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
　　glColor3f(1.0, 1.0, 1.0);
　　glBegin(GL_LINE_STRIP);
　　for (i = 0; i <= 30; i++)
　　　　　glEvalCoord1f((GLfloat) i/30.0);
　　glEnd();
　　/* 显示控制点 */
　　glPointSize(5.0);
　　glColor3f(1.0, 1.0, 0.0);
　　glBegin(GL_POINTS);
　　for (i = 0; i < 4; i++)
　　　　glVertex3fv(&ctrlpoints[i][0]);
　　glEnd();
　glFlush();
}
void CALLBACK myReshape(GLsizei w, GLsizei h)
{
　glViewport(0, 0, w, h);
　glMatrixMode(GL_PROJECTION);
　glLoadIdentity();
　if (w <= h)
glOrtho(-5.0, 5.0, -5.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w,
5.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w, -5.0, 5.0);
　else
glOrtho(-5.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h, 5.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h, -5.0, 5.0, -5.0, 5.0);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity();
　　}
二、曲面构造

　　曲面的绘制方法基本上与曲线的绘制方法是相同的，所不同的是曲面使用二维求值器，并且控制点连接起来形成一个网格。

　　对于曲面，求值器除了使用二个参数U、V之外，其余与一维求值器基本相同。顶点坐标 、颜色、法线矢量和纹理坐标都对应于曲面而不是曲线。在OpenGL中定义二维求值器的函数是：

void glMap2{fd}(GLenum target,TYPE u1,TYPE u2,GLint ustride,GLint uorder,TYPE v1,TYPE v2,
GLint vstride,GLint vorder,TYPE points);

　　参数target可以是表一中任意值，不过需将MAP1改为MAP2。同样，启动曲面的函数仍是glEnable()，关闭是glDisable()。u1、u2为u的最大值和最小值；v1、v2为v的最大值和最小值。参数ustride和vstride指出在控制点数组中u和v向相邻点的跨度，即可从一个非常大的数组中选择一块控制点长方形。例如，若数据定义成如下形式：

GLfloat ctlpoints[100][100][3];

　　并且，要用从ctlpoints[20][30]开始的4x4子集，选择ustride为100*3，vstride为3，初始点设置为ctlpoints[20][30][0]。最后的参数都是阶数，uorder和vorder，二者可以不同。

　　曲面坐标计算函数为：

void glEvalCoord2{fd}[v](TYPE u,TYPE v);

　　该函数产生曲面坐标并绘制。参数u和v是定义域内的值。下面看一个绘制Bezier曲面的例子：

/* 控制点的坐标 */
　　GLfloat ctrlpoints[4][4][3] = {
{{-1.5, -1.5, 2.0}, {-0.5, -1.5, 2.0},
　 {0.5, -1.5, -1.0}, {1.5, -1.5, 2.0}},
　{{-1.5, -0.5, 1.0}, {-0.5, 1.5, 2.0},
{0.5, 0.5, 1.0}, {1.5, -0.5, -1.0}},
{{-1.5, 0.5, 2.0}, {-0.5, 0.5, 1.0},
{0.5, 0.5, 3.0}, {1.5, -1.5, 1.5}},
{{-1.5, 1.5, -2.0}, {-0.5, 1.5, -2.0},
{0.5, 0.5, 1.0}, {1.5, 1.5, -1.0}}
};
void myinit(void)
{
　　　　glClearColor (0.0, 0.0, 0.0, 1.0);
　　　　glMap2f(GL_MAP2_VERTEX_3, 0, 1, 3, 4, 0, 1, 12, 4,
&ctrlpoints[0][0][0]);
glEnable(GL_MAP2_VERTEX_3);
glMapGrid2f(20, 0.0, 1.0, 20, 0.0, 1.0);
glEnable(GL_DEPTH_TEST);
　　}
　　void CALLBACK display(void)
　　{
　　　　int i, j;
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
　　　　glColor3f(0.3, 0.6, 0.9);
　　　　glPushMatrix ();
　　　　glRotatef(35.0, 1.0, 1.0, 1.0);
　　　　for (j = 0; j <= 8; j++)
　　　　{
　　　　　　glBegin(GL_LINE_STRIP);
　　　　　　for (i = 0; i <= 30; i++)
　　　　　　　　glEvalCoord2f((GLfloat)i/30.0, (GLfloat)j/8.0);
　　　　　　glEnd();
　　　　　　glBegin(GL_LINE_STRIP);
　　　　　　　　for (i = 0; i <= 30; i++)
　　　　　　　　　　glEvalCoord2f((GLfloat)j/8.0,
(GLfloat)i/30.0);
　　　　　　glEnd();
　　　　}
　　　　glPopMatrix ();
　　　　glFlush();
　　}

　　OpenGL中定义均匀间隔的曲面坐标值的函数与曲线的类似，其函数形式为：

void glMapGrid2{fd}(GLenum nu,TYPE u1,TYPE u2,GLenum nv,TYPE v1,TYPE v2);
void glEvalMesh2(GLenum mode,GLint p1,GLint p2,GLint q1,GLint q2);

　　第一个函数定义参数空间的均匀网格，从u1到u2分为等间隔的nu步，从v1到v2分为等间隔的nv步，然后glEvalMesh2()把这个网格应用到已经启动的曲面计算上。第二个函数参数mode除了可以是GL_POINT和GL_LINE外，还可以是GL_FILL，即生成填充空间曲面。

　　下面举出一个用网格绘制一个经过光照和明暗处理的Bezier曲面的例程：

#include "glos.h"
#include <GL/gl.h>
#include <GL/glu.h>
#include <GL/glaux.h>
void myinit(void);
void initlights(void);
void CALLBACK myReshape(GLsizei w, GLsizei h);
void CALLBACK display(void);
/* 控制点坐标 */
GLfloat ctrlpoints[4][4][3] = {
　　{{-1.5, -1.5, 2.0}, {-0.5, -1.5, 2.0},
　 {0.5, -1.5, -1.0}, {1.5, -1.5, 2.0}},
　{{-1.5, -0.5, 1.0}, {-0.5, 1.5, 2.0},
{0.5, 0.5, 1.0}, {1.5, -0.5, -1.0}},
{{-1.5, 0.5, 2.0}, {-0.5, 0.5, 1.0},
{0.5, 0.5, 3.0}, {1.5, -1.5, 1.5}},
{{-1.5, 1.5, -2.0}, {-0.5, 1.5, -2.0},
{0.5, 0.5, 1.0}, {1.5, 1.5, -1.0}}
};
void initlights(void)
{
　　GLfloat ambient[] = { 0.4, 0.6, 0.2, 1.0 };
　　GLfloat position[] = { 0.0, 1.0, 3.0, 1.0 };
　　GLfloat mat_diffuse[] = { 0.2, 0.4, 0.8, 1.0 };
　　GLfloat mat_specular[] = { 1.0, 1.0, 1.0, 1.0 };
　　GLfloat mat_shininess[] = { 80.0 };
　　glEnable(GL_LIGHTING);
　　glEnable(GL_LIGHT0);
　　glLightfv(GL_LIGHT0, GL_AMBIENT, ambient);
　　glLightfv(GL_LIGHT0, GL_POSITION, position);
glMaterialfv(GL_FRONT, GL_DIFFUSE, mat_diffuse);
　glMaterialfv(GL_FRONT, GL_SPECULAR, mat_specular);
glMaterialfv(GL_FRONT, GL_SHININESS, mat_shininess);
}
void CALLBACK display(void)
{
　glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
　glPushMatrix();
　glRotatef(35.0, 1.0, 1.0, 1.0);
　glEvalMesh2(GL_FILL, 0, 20, 0, 20);
　glPopMatrix();
　glFlush();
}
void myinit(void)
{
　　　　glClearColor (0.0, 0.0, 0.0, 1.0);
　　glEnable (GL_DEPTH_TEST);
　glMap2f(GL_MAP2_VERTEX_3, 0, 1, 3, 4, 0, 1, 12,
4, &ctrlpoints[0][0][0]);
　glEnable(GL_MAP2_VERTEX_3);
　glEnable(GL_AUTO_NORMAL);
　glEnable(GL_NORMALIZE);
　glMapGrid2f(20, 0.0, 1.0, 20, 0.0, 1.0);
initlights();
}
void CALLBACK myReshape(GLsizei w, GLsizei h)
{
　　glViewport(0, 0, w, h);
　　glMatrixMode(GL_PROJECTION);
　　glLoadIdentity();
　　if (w <= h)
glOrtho(-4.0, 4.0, -4.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w,
4.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w, -4.0, 4.0);
else
　 glOrtho(-4.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h,
4.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h, -4.0, 4.0, -4.0, 4.0);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity();
}
void main(void)
{
　　auxInitDisplayMode (AUX_SINGLE | AUX_RGBA);
　auxInitPosition (0, 0, 500, 500);
　auxInitWindow ("Lighted and Filled Bezier Surface");
　myinit();
　auxReshapeFunc (myReshape);
　auxMainLoop(display);
}
三、图元逼近法绘制三维物体

　　在OpenGL的辅助库中，提供了绘制11种基本几何图形的函数，具体参考第一讲的有关内容，在此不再赘述。这里我们讨论用另外一种方法来绘制三维物体 。

　　需要注意的是，这里我们用来近似曲面的多边形最好选择三角形，而不是四边形或其他形状的多边形，这是因为三角形的三个顶点在任何时候都位于同一平面内，它一定是非常简单的非凹多边形，而四边形或其他多边形的顶点可能不在同一平面内，也就有可能不是简单多边形，对于这样的多边形，OpenGL是不能正常处理的。假设我们绘制一个球体，球体表面用很多个小三角形拼接而成，显然，用来近似球面的三角形越小、三角形越多，那么球面就越光滑。为了简要地说明如何用三角形逼近球体，这里我们使用三角形来构造一个20面体，二十面体的顶点坐标定义在vdata[][]数组中，tindinces[][]数组定义了构成二十面体的二十个三角形顶点的绘制顺序。下面是主要实现代码：

#define x 5.25731
#define z 8.50651
static GLfloat vdata[12][3]={
{x,0.0,z},{x,0.0,z},{-x,0.0,-z},{x,0.0,-z},
{0.0,z,x},{0.0,z,-x},{0.0,-z-x},{0.0,-z,-x},
{z,x,0.0},{-z,x,0.0},{z,-x,0.0},{-z,-x,0.0}
};
static GLint tindices[20][3]={
{0,4,1},{0,9,4},{9,5,4},{4,5,8},{4,8,1},
{8,10,1},{8,3,10},{5,3,8},{5,2,3},{2,7,3},
{7,10,3},{7,6,10},{7,11,6},{11,0,6},
{6,1,10},{9,0,11},{9,11,2},{9,2,5},{7,2,11}
};
glColor3f(1.0, 0.0, 0.0);
for(int i=0;i<20;i++){
glBegin(GL_TRIANGLES);
glVertex3fv(&vdata[tindices[i][0]][0]);
glVertex3fv(&vdata[tindices[i][1]][0]);
glVertex3fv(&vdata[tindices[i][2]][0]);
glEnd();
}

　　显然，用正二十面体来表示一个球体显得过于粗糟，可以通过增加面数的方法使正多面体和求更为接近，一种简单的方法是剖分法，即将前面定义的三角形面分成几个面，例如，一分为四，形成4个多边形等，具体实现方法这里就不再赘述了。