充分性。

每个块都是欧拉图的话，那么每个顶点在各自所属的块中都是偶数度的。
我们要证明，每个顶点在G中也是偶数度的。

首先，若A={G_i|i=1,2,...,k}是G中所有的块的话，则G=∪A。

其次，对任意G_i,G_j，若i≠j，则V(G_i)∩V(G_j)中至多只有一个顶点
（否则G_i∪G_j将是一个更大的2-连通图，与G_i、G_j的极大性矛盾）。

这样，G_i∩G_j要么是空图，要么是只有1个顶点的图。若这个图中有边，
也只能是环，从而顶点在G_i∩G_j中的度数也是偶数。

利用度数的定义和容斥原理可以知道，v在G中的度数d_{G}(v)=Σd_{G_i}(v)
- Σd_{G_i∩G_j}(v) + Σd_{G_i∩G_j∩G_k}(v) - ..... + (-1)^{n+1}∩A

对上面的公式中，若v不在V(G_i)中，则规定d_{G_i}(v)=0。

由于G_i是欧拉图，所以d_{G_i}(v)是偶数，由于G_i∩G_j要么没有边，要么只
有环，所以d_{G_i∩G_j}(v)也是偶数。从而d_{G}(v)也是偶数。

必要性。

由于任何欧拉图都是若干边不重的圈的并。
设这些圈是C_1,C_2,...,C_k（注意：如果G中有环，则每个环本身也是一个圈）。
容易证明，任意圈C_i如果与某个块G_j有公共边，则C_i必是G_j的子图。（这是因为：
若C_i为环，则结论显然成立。否则，C_i中有非环的边(u v)，由于C_i本身是2-连通
的，所以C_i可以扩展成了一个块G_t。由于G_t和G_j有公共边(u v)，从而有两个公共
顶点。上次已经证明了，两个不同的块最多有一个公共顶点，所以必有G_t=G_j，而
C_i是G_t的子图，也就是G_j的子图）。

因此，对每个块G_i，设A_i={C_{j_1},C_{j_2},...,C_{j_s}}为所有与G_i有公共
边的圈的集合。
由于C_1,C_2,...,C_k覆盖了G中每一条边，所以G_i是∪A_i的子图。
另一方面，由于A_i中每一个圈都是G_i的子图，所以∪A_i也是G_i子图。
从而G_i=∪A_i也是若干边不重的圈的并。

每个块都是欧拉图的话，那么每个顶点在各自所属的块中都是偶数度的。
我们要证明，每个顶点在G中也是偶数度的。

首先，若A={G_i|i=1,2,...,k}是G中所有的块的话，则G=∪A。

其次，对任意G_i,G_j，若i≠j，则V(G_i)∩V(G_j)中至多只有一个顶点
（否则G_i∪G_j将是一个更大的2-连通图，与G_i、G_j的极大性矛盾）。

其实，到这一步是不是就可以说明G为欧拉图了？
因为对于任意G_i,G_j至多只有一个顶点（若有的话设为v。），又因为v。在G_i和G_j中的度都是偶数，那么，它在G_i∪G_j中的度数也为偶数。进而，对于所有的G_k（v。属于G_k），
∪G_k中v。的度也为偶数。又有“若A={G_i|i=1,2,...,k}是G中所有的块的话，则G=∪A”所以G
为欧拉图