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----  2007数学基础问题  (http://bbs.xml.org.cn/dispbbs.asp?boardid=67&rootid=&id=55973)

--  作者：touchworld
--  发布时间：11/25/2007 12:53:00 PM

--  2007数学基础问题
第四题求和
   Sn=x+2^2X^2+3^2x^3+...+n^2x^2
怎么做？
如果理解成求级数我会，但是是求部分和，哪位达人指点一二啊？
--  作者：sunthought
--  发布时间：11/25/2007 6:29:00 PM

--  
Sn-x*Sn,再整理。
--  作者：touchworld
--  发布时间：11/25/2007 6:47:00 PM

--  
非常感谢。
--  作者：datoubaicai
--  发布时间：11/26/2007 4:28:00 PM

--  

题目:
求和S(n)=x+2^2*x^2+3^2*x^3+…….+n^2*x^n

解法1:
1) 若x=1, S(n)=1+2^2+.......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
2) 若x!=1
xS(n)= x^2+2^2*x^3+3^2*x^4+…….+(n-1)^2*x^n+ n^2*x^(n+1)
(1-x)S(n)=x+ 3x^2+5x^3+7x^4+…….+(2n-1)x^n-n^2*x^(n+1)
令T(n)= x+ 3x^2+5x^3+7x^4+…….+(2n-1)x^n
xT(n)= x^2+ 3x^3+5x^4+7x^5+…….+(2n-3)x^n+(2n-1)x^(n+1)
(1-x)T(n)=2(x+ x^2+ x^3+x^4+x^5+…….+x^n)-x-(2n-1)x^(n+1)
T(n)=[x+x^2-(2n+1)x^(n+1)+(2n-1)x^(n+2)]/(1-x)^2
S(n)= [x+x^2-(n+1)^2*x^(n+1)+(2n^2+2n-1)x^(n+2)-n^2*x^(n+3)]/(1-x)^3

解法2:与求无穷级数的方法类似,先积分后求导
1) 若x=1, S(n)=1+2^2+.......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
2) 若x!=1
T(x)=S(n)/x=1+2^2*x+3^2*x^2+…….+n^2*x^(n-1)
∫T(x)=x+2x^2+3x^3+…….+nx^n
     =[(x+x^2+....x^n)-nx^(n+1)]/(1-x)
     =[x-x^(n+1)-nx^(n+1)+nx^(n+2)]/(1-x)^2
T(x)=上式对x求导
   =[1+x-(n+1)^2*x^n+(n^2+2n-1)*x^(n+1)-n^2*x^(n+2)]/(1-x)^3
S(n)= [x+x^2-(n+1)^2*x^(n+1)+(2n^2+2n-1)x^(n+2)-n^2*x^(n+3)]/(1-x)^3

--  作者：蝶影
--  发布时间：11/27/2007 10:31:00 AM

--  
以下是引用datoubaicai在2007-11-26 16:28:00的发言：
题目:
求和S(n)=x+2^2*x^2+3^2*x^3+…….+n^2*x^n

解法1:
1) 若x=1, S(n)=1+2^2+.......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
2) 若x!=1
xS(n)= x^2+2^2*x^3+3^2*x^4+…….+(n-1)^2*x^n+ n^2*x^(n+1)
(1-x)S(n)=x+ 3x^2+5x^3+7x^4+…….+(2n-1)x^n-n^2*x^(n+1)
令T(n)= x+ 3x^2+5x^3+7x^4+…….+(2n-1)x^n
xT(n)= x^2+ 3x^3+5x^4+7x^5+…….+(2n-3)x^n+(2n-1)x^(n+1)
(1-x)T(n)=2(x+ x^2+ x^3+x^4+x^5+…….+x^n)-x-(2n-1)x^(n+1)
T(n)=[x+x^2-(2n+1)x^(n+1)+(2n-1)x^(n+2)]/(1-x)^2
S(n)= [x+x^2-(n+1)^2*x^(n+1)+(2n^2+2n-1)x^(n+2)-n^2*x^(n+3)]/(1-x)^3

解法2:与求无穷级数的方法类似,先积分后求导
1) 若x=1, S(n)=1+2^2+.......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
2) 若x!=1
T(x)=S(n)/x=1+2^2*x+3^2*x^2+…….+n^2*x^(n-1)
∫T(x)=x+2x^2+3x^3+…….+nx^n
      =[(x+x^2+....x^n)-nx^(n+1)]/(1-x)
      =[x-x^(n+1)-nx^(n+1)+nx^(n+2)]/(1-x)^2
T(x)=上式对x求导
    =[1+x-(n+1)^2*x^n+(n^2+2n-1)*x^(n+1)-n^2*x^(n+2)]/(1-x)^3
S(n)= [x+x^2-(n+1)^2*x^(n+1)+(2n^2+2n-1)x^(n+2)-n^2*x^(n+3)]/(1-x)^3



......
--  作者：Logician
--  发布时间：11/27/2007 5:14:00 PM

--  
赞！
帮你TeXify了一下。
此主题相关图片如下：
按此在新窗口浏览图片
--  作者：touchworld
--  发布时间：11/29/2007 9:42:00 AM

--  
各位大侠，谢谢了。
--  作者：EagleSoaring
--  发布时间：12/6/2007 2:37:00 PM

--  
似乎，这道题求和是指求无穷级数的和，而不是前n项的和。
04年的题目也是没说清楚，大家怎么看？

--  作者：zshao
--  发布时间：12/7/2007 11:48:00 PM

--  
去年考上的仁兄，有在的么，解答下，谢谢
--  作者：datoubaicai
--  发布时间：12/8/2007 9:09:00 AM

--  
04年和这道题都是求前N项的和
这也是这道题的难点所在，碰到的这类题大多是求无穷多项的和，很容易形成惯性思维，如果直接去求无穷多项和的话，很可能至少被扣掉一半分
这就是北大数学基础题目的特点，题目不是特别难，考的很基础，但到处都是陷进，稍微不细心留意，就会做错。
--  作者：javacap
--  发布时间：12/8/2007 9:04:00 PM

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看来把这题想复杂了，还以为考得有点技巧性呢
--  作者：蝶影
--  发布时间：12/8/2007 11:22:00 PM

--  
以下是引用datoubaicai在2007-12-8 9:09:00的发言：
04年和这道题都是求前N项的和
这也是这道题的难点所在，碰到的这类题大多是求无穷多项的和，很容易形成惯性思维，如果直接去求无穷多项和的话，很可能至少被扣掉一半分
这就是北大数学基础题目的特点，题目不是特别难，考的很基础，但到处都是陷进，稍微不细心留意，就会做错。


......
考试的时候把你的数学细胞借我点吧,嘿嘿~

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