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     * 贴子主题： [原创]离散：关于一个循环群的生成元的问题 举报  打印  推荐  IE收藏夹 
       本主题类别:     
     cpkug 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 [原创]离散：关于一个循环群的生成元的问题

    离散数据习题集（抽象代数分册），P16  1.2.2：
    1.2.2 在整数集Z上定义 a*b=a+b-2 对于任意 a,b ∈Z
    问<Z,*>是不是循环群?

    答案：它是一个循环群，生成元是3和1,其中 3^n=n+2 n∈Z,1^n=2-n n∈Z。

    答案并未给出一个更为详细的推出“3是一个生成元”的过程。

    不看答案，真的很难就能想出“3是一个生成元”；
    在知道了答案以后，我进行了分析推理，下面是我关于其“3是一个生成元”的推理，但总觉得推理有些不够，不知该补充些什么？

    3^2 = 3 * 3 = 3 + 3 - 2 = 4,
    3^3 = (3^2) * 3 = 4 * 3 = 4 + 3 - 2 = 5,
    3^4 = (3^3) * 3 = 5 * 3 = 5 + 3 - 2 = 6,
    3^5 = (3^4) * 3 = 6 * 3 = 6 + 3 - 2 = 7,
    ...
    3^n = n+2,

    问题：
    1> 不知上面的过程对于结论“3是一个生成元”的推理是否完备，是否需要补充些什么？
    2> 如果是考试这样写推理是否会被扣分？
    3> 如果上面的推理不够，能否给出一个让人信服的、严谨的推理？

    请高手帮忙解答一下，谢谢了！


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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/16 11:47:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    首先，只要找出一个生成元并证明它确实是生成元就行了。
    其次，我们知道，如果a是一个群的生成元，那么a^{-1}也是它的生成元。

    所以，要论证1或3是生成元很简单，只需说明，
    (1) 3^{-1}=1
    (2) 对任意x，有x*3 = x+3-2 = x+1，所以（由数学归纳法可证）对任意自然数n，有3^n = n+2。而对任意x，有x*1=x+1-2=x-1，所以（由数学归纳法可证）对任意自然数n，有3^{-n}=(3^{-1})^n = 1^n = 2-n。所以3是生成元，1也是生成元。

    ----------------------------------------------
    Three passions, simple but overwhelmingly strong, 
    have governed my life: the longing for love, the
    search for knowledge, and unbearable pity for the
    suffering of mankind.
                                - Bertrand Russell

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/16 14:11:00
     
     cpkug 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    谢谢!
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/16 18:56:00
     
     zshao 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 cpkug，劳驾:
    cpkug，劳驾把《抽象代数--小册子》不会的都贴出来讨论，很多同学好象没买到书。thanks

    ----------------------------------------------
    PLEASE BLESS ME ,MY GOD.

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/16 23:21:00
     
     zhjf83 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    en  贴出来.
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/17 15:56:00
     
     九九 帅哥哟，离线，有人找我吗？射手座1984-11-25
      
      
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    发贴心情 
    建立一个映射F: N -> N
      f(x)=x+2
    1)易知映射是良定义的;
    2)f(a)*f(b)=f(a*b) -> F:是<N +> -> <N *>的一个同态映射
    3)F是单射的：对任意的a,b;f(a)=f(b)->a=b;
    4)F是满射的: 对任意的y=b,存在x=b-2使得f(x)=y;
    综上F是<N +> -> <N *>的同构映射

    <N +> 的性质是我们已知的；
    由同构我们可以得到<N *>的性质:
      以1 3为生成员的循环群

    Ps: 同态和同构是重点，强化以下。。。
         有啥问题，希望大家帮忙指点

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/18 13:11:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    你的证明是对的。

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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/18 17:51:00
     
     cpkug 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    海淀图书城有呀，我在那里买的，怎么，卖完了？

    没太多时间看了，有问题一定贴！！

    谢谢支持！


    以下是引用九九在2007-12-18 13:11:00的发言：
    2)f(a)*f(b)=f(a*b) -> F:是<N +> -> <N *>的一个同态映射

    应该是：
    f(a + b) = f(a) * f(b) => F:是<N +> -> <N *>的一个同态映射

    [此贴子已经被作者于2007-12-18 23:09:42编辑过]
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/18 22:20:00
     
     九九 帅哥哟，离线，有人找我吗？射手座1984-11-25
      
      
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    发贴心情 
    哎，还是经常出这样的错误！
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/19 16:36:00
     
     cpkug 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    以下是引用九九在2007-12-19 16:36:00的发言：
    哎，还是经常出这样的错误！

    感觉你是一口气答出来的，没什么，思路本身是对的，大家都感觉到了，不必在意了，谁仓促都可能忽视某些细节，无关大体，只是考试时细些心就行了！

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/12/20 22:23:00
     
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