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     * 贴子主题： [离散习题8.2] 无向连通图G为欧拉图当且仅当G的每个块都是欧拉图 举报  打印  推荐  IE收藏夹 
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     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 [离散习题8.2] 无向连通图G为欧拉图当且仅当G的每个块都是欧拉图

    证明：


    充分性。

    每个块都是欧拉图的话，那么每个顶点在各自所属的块中都是偶数度的。
    我们要证明，每个顶点在G中也是偶数度的。

    首先，若A={G_i|i=1,2,...,k}是G中所有的块的话，则G=∪A。

    其次，对任意G_i,G_j，若i≠j，则V(G_i)∩V(G_j)中至多只有一个顶点
    （否则G_i∪G_j将是一个更大的2-连通图，与G_i、G_j的极大性矛盾）。

    这样，G_i∩G_j要么是空图，要么是只有1个顶点的图。若这个图中有边，
    也只能是环，从而顶点在G_i∩G_j中的度数也是偶数。

    利用度数的定义和容斥原理可以知道，v在G中的度数d_{G}(v)=Σd_{G_i}(v)
    - Σd_{G_i∩G_j}(v) + Σd_{G_i∩G_j∩G_k}(v) - ..... + (-1)^{n+1}∩A

    对上面的公式中，若v不在V(G_i)中，则规定d_{G_i}(v)=0。

    由于G_i是欧拉图，所以d_{G_i}(v)是偶数，由于G_i∩G_j要么没有边，要么只
    有环，所以d_{G_i∩G_j}(v)也是偶数。从而d_{G}(v)也是偶数。


    必要性。

    由于任何欧拉图都是若干边不重的圈的并。
    设这些圈是C_1,C_2,...,C_k（注意：如果G中有环，则每个环本身也是一个圈）。
    容易证明，任意圈C_i如果与某个块G_j有公共边，则C_i必是G_j的子图。（这是因为：
    若C_i为环，则结论显然成立。否则，C_i中有非环的边(u v)，由于C_i本身是2-连通
    的，所以C_i可以扩展成了一个块G_t。由于G_t和G_j有公共边(u v)，从而有两个公共
    顶点。上次已经证明了，两个不同的块最多有一个公共顶点，所以必有G_t=G_j，而
    C_i是G_t的子图，也就是G_j的子图）。

    因此，对每个块G_i，设A_i={C_{j_1},C_{j_2},...,C_{j_s}}为所有与G_i有公共
    边的圈的集合。
    由于C_1,C_2,...,C_k覆盖了G中每一条边，所以G_i是∪A_i的子图。
    另一方面，由于A_i中每一个圈都是G_i的子图，所以∪A_i也是G_i子图。
    从而G_i=∪A_i也是若干边不重的圈的并。


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    Three passions, simple but overwhelmingly strong, 
    have governed my life: the longing for love, the
    search for knowledge, and unbearable pity for the
    suffering of mankind.
                                - Bertrand Russell

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     yrf 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    充分性。

    每个块都是欧拉图的话，那么每个顶点在各自所属的块中都是偶数度的。
    我们要证明，每个顶点在G中也是偶数度的。

    首先，若A={G_i|i=1,2,...,k}是G中所有的块的话，则G=∪A。

    其次，对任意G_i,G_j，若i≠j，则V(G_i)∩V(G_j)中至多只有一个顶点
    （否则G_i∪G_j将是一个更大的2-连通图，与G_i、G_j的极大性矛盾）。

    其实，到这一步是不是就可以说明G为欧拉图了？
    因为对于任意G_i,G_j至多只有一个顶点（若有的话设为v。），又因为v。在G_i和G_j中的度都是偶数，那么，它在G_i∪G_j中的度数也为偶数。进而，对于所有的G_k（v。属于G_k），
    ∪G_k中v。的度也为偶数。又有“若A={G_i|i=1,2,...,k}是G中所有的块的话，则G=∪A”所以G
    为欧拉图

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     yrf 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    还是你的对，我做的时候没考虑有环的情况。
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/4/15 13:58:00
     
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